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    〖教学目标〗
    (-)知识目标
    1用对比的方法复习概念
    2.熟练实数的运算
    (二)能力目标
    1.引导学生梳理和归纳本章内容,把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系
    2.通过典型问题的分析,对重点知识有进一步的认识.
    (三)情感目标
    通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果,对学生进行爱国主义教育.
    〖教学重点〗
    1. 无理数、实数 概念的理解
    2. 实数的运算
    〖教学难点〗
    无理数的概念的理解
    〖教学过程〗
    一、课前布置
    1.阅读P121~P122回顾与反思,自己尝试着归纳本章的内容. 整理出本章的难点、重点,找出自己的疑点,盲点,出错点.
    2.查阅"圆周率π"有关资料
    圆周率π趣闻
    在日常生活中,人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的,茶杯口是圆的,天上的月亮看起来也是圆的,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数就是π。
    当代数学大师、着名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道:"π这个数渗透了整个数学!"有的数学家甚至说:"历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。"
    中华民族历史上对圆周率π的研究,有着卓越的成就,曾一度领先于世。
    根据历史学家的考证,早在夏代以前原始部落时期,我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里,已经指出了"圆径一而周三"(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准,根据推算,他所用的圆周率有3.1547,3.1992,3.1498,3.2031等几个值,而没有统一的标准,但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π= =3.1623,比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。
    三国魏景元四年(公元263年),数学家刘徽在整理《九章算术》一书时,提出了"割圆术"。他从圆内接六边形算边,令边数一倍一倍地增加,逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值,得到了π的近似值为3.14。他还特别声明:"此率尚微少",意思是这只是π的不足近似值。
    刘徽对π的推算,是对人类的一大贡献。后人为了纪念他,就把π=3.14这个数值叫做"徽率"。
    到了南北朝,伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算,达到了空前的高峰,他算出3.1415926<π<3.1415927。
    在世界上,计算圆周率精确到小数点后七位的,祖冲之是第一人,后人称之为"祖率"。
    "祖率"这个纪录保持了近一千年,后才被16世纪的阿尔卡西(Al--Kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值:约率是 ,密度是 。这两个分数,是分母小于7和113的一切分数中,最接近π值的最佳分数,德国人奥托(Valentius Otto)在1573年才获得这个值。
    在现在,利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。
    π是一个什么样的数呢?
    π是一个无限不循环的小数。也就是说,π是一个无理数。
    法国数学家勒让德(Legendre,1752-1833)曾猜测说:"π不是有理系数方程的根"。后来,人们把有理系数方程的根称为代数数,不是代数数的叫做超越数。这样,所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。
    在高等数学里,抽象地证明超越数的存在性,并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数,例如π和e是超越数,在历史上是一件十分困难的事情。
    e=2.718…,也是一个无理数,常用来作为对数的底数,这种对数称为自然对数。1873年,法国数学家埃尔米特(Hermite,1822-1901)给出了e是超越数的证明,但他认为证明π的超越性更为困难。他在给友人的信中写道:"我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作,对于他们的成功没有比我更高兴的人了。但请相信我,我亲爱的朋友,这决不会不使他们花去一些力气。"1882年,英国数学家林德曼(F.Lindemann,1852-1939)证明了π是超越的,从而解决了一些几何作图问题。

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八年级数学教案