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    一、复习目标与要求
    1.本章主要学习了分式的基本概念和性质,分式的加减法和乘除法、含有字母系数的一元一次方程和分式方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程及其应用。
    2.应当注意理解分式、有理式的概念,会求分式有意义的条件。应注意掌握分式的基本性质,能用它将分式变形,并能熟练进行通分和约分,掌握分式加减、乘除的运算法则,进行分式的运算。
    3.掌握含有字母系数的一元一次方程的解法,会进行简单的公式变形,深入理解分式方程的概念,掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,并能判定分式方程的增根,掌握可化为一元一次方程的分式方程的应用题的解法。
    4.在进行分式加减运算时要注意通分,在进行分式的乘除运算中,注意对结果的约分化简。
    5.在解含有字母系数的一元一次方程时,用含有字母的式子去乘或除方程的两边时,这个式子的值不能为零,如果无法判断是否为零,则应当进行讨论。
    6.解分式方程时,因为可能会产生增根,因而一定要进行检验。
    二、知识结构梳理
    三、重点知识梳理
    1.分式及分式的基本性质
    2.分式的运算
    (1)约分:①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.②分式约分的依据:分式的基本性质.③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)
    (2)分式的乘法:乘法法测: · = .
    (3)分式的除法:除法法则: ÷ = · =
    (4)分式的乘方:求n个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是( )n.
    分式的乘方,是把分子、分母各自乘方.用式子表示为:( )n= (n为正整数)
    3.分式方程及其应用
    (1)分式方程的概念
    分母中含有未知数的方程叫分式方程
    注意:它和整式方程的区别就在于分母中是否含未知数
    (2)分式方程的解法
    ①方程两边都乘以最简公分母,去分母,化为整式方程;
    ②解这个整式方程;
    ③验根
    (3)分式方程的应用
    列分式方程解应用题的一般步骤:
    ①审:审清题意;②设:设未知数;③找:找出相等关系;④列:列出分式方程;⑤解:解这个分式方程;⑥验:检验,既要验证根是否是原分式方程的根,又要验是否符合题意;⑦答:写出答案
    四、易混、易错问题辨析
    1.符号错误
    例1.不改变分式的值,使分式 的分子、分母第一项的符号为正.
    错解:
    诊断:此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号.
    正解: .
    2.运算顺序错误
    例2.计算:
    错解:原式= .
    诊断:分式的乘除混合运算是同一级运算,运算顺序应从左至右.
    正解:原式= .
    3.错用分式基本性质
    例3.不改变分式的值,把分式 的分子、分母各项系数都化为整数.
    错解:原式= .
    诊断:应用分式的基本性质时,分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式,分式的值不变,而此题分子乘以2,分母乘以3,分式的值改变了.
    正解:原式= .
    4.约分中的错误
    例4.约分: .
    错解:原式= .
    诊断:约分的根据是分式的基本性质,将分子、分母的公因式约去,若分子、分母是多项式,须先分解因式,再约去公因式.
    正解:原式= .
    5.结果不是最简分式
    例5.计算: .
    错解:原式= .
    诊断:分式运算的结果必须化为最简分式,而上面所得结果中分子、分母还有公因式,必须进一步约分化简.
    正解:原式= .
    6.误用分配律
    例6.计算: .
    错解:原式= .
    诊断:乘法对加法有分配律,而除法对加法没有分配律.
    正解:原式= .
    7.忽略分数线的括号作用
    例7.计算: .
    错解:原式= .
    诊断:此题错误在于添加分数线时,忽略了分数线的括号作用.
    正解:原式=
    五、典型问题梳理
    例1.判断下列各代数式中,哪些是分式?
    (1)1+  (2)  (3)
    解:如果式子分母中含有字母,则叫做分式,因此(1)(2)是分式,(3)不是分式。
    例2.使分式 有意义的条件是什么?使分式的值为零的条件是什么?
    解:使分式有意义的条件是分母的值为零,所以当|x|-7≠0,即x≠±7时,分式有意义;使分式值为零的条件是分式分子的值不能为零,分母的值不等于零,所以当x+7=0或x-2=0且x≠±7,即x=2时,分式的值为零。
    例4.
    解:
    说明:①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的基本性质进行约分.②注意对分子、分母符号的处理.
    例5.先化简,再求值:( )÷ ,其中x=2005
    解:原式= · = =
    例6.解方程 =1.
    解:两边同乘以(y+1)(y-1),去分母,得(y+1)2-4=y2-1,y2+2y+1-4=y2-1,y=1
    检验:把y=1代入最简公分母:(y+1)(y-1)=(1+1)(1-1)=0,∴y=1是增根.
    所以,原方程无解.
    例7.关于x的方程 =3有增根,求m的值.
    解:方程两边都乘以(x-2),得2x-(3-m)=3(x-2),把x=2代入上面得到的整式方程,得4-3+m=0.所以m=-1.
    说明:若分式方程有增根,则增根一定是使最简公分母等于零的未知数的值;反过来,使最简公分母等于零的未知数的值不一定是方程的增根.
    例8.某自来水公司水费计算办法如下:若每户每月用水不超过5 m3,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过5 m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.1月份,张家用水量是李家用水量的 ,张家当月水费是17.5元,李家当月水费是27.5元.超出5 m3的部分每立方米收费多少元?
    解:设超出5 m3部分的水,每立方米收费设为x元,根据等量关系,得
    +5=( +5)× .解这个方程,得x=2.
    经检验x=2是所列方程的根.答:超出5 m3部分的水,每立方米收费2元.
    六、链接中考
    例9.(河南省)有一道题"先化简,再求值: ,其中 ."小玲做题时把" "错抄成了" ",但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?
    解:先化简: ,因为 或 , 的值均为3,原式的计算结果都是7,所以把" "错抄成" ",计算结果也是正确的.
    例9.(江西省)如图,小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km,王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗"非典"第一线,为了使他能按时到校,王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20分钟,问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少?
    解:分析题目中的等量关系:王老师骑车速度=王老师步行速度×3;
    王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟.
    设王老师步行速度为x km/h,则骑自行车的速度为3x km/h.
    依题意,得 = + ,解得x=5,经检验x=5是原方程的根,
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p;   这时3x=15.
    答:王老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h..
    例11.武汉市)2004年8月中旬,我市受14号台风"云娜"的影响后,部分街道路面积水比较严重.为了改善这一状况,市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需12天完成此项工程;若甲队先做了8天后,剩下的由乙队单独做还需18天才能完工.问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?又已知甲队每施工一天需要费用2万元,乙队每施工一天需要费用1万元,要使完成该工程所需费用不超过35万元,则乙工程队至少要施工多少天?
    解:设甲、乙两队单独完成此项工程分别需要x天,y天.
    依题意得     解之得
    经检验知它们适合方程组和题意.
    则甲队每天施工1200÷20=60m,乙队每天施工1200÷30=40m.
    设甲、乙两队实际完成此项工程分别需要a天,b天.
    依题意得 解之得b≥35.
    答:甲、乙两队单独完成此项工程分别需要20天,30天;要使完成该工程所需费用不超过35万元,则乙工程队至少要施工15天

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八年级数学教案