充要条件与反证法_在线教学教案查询
1.充分条件:如果p q,则p叫q的充分条件,原命题(或逆否命题)成立,命题中的条件是充分的,也可称q是p的必要条件.
2.必要条件:如果q p,则p叫q的必要条件,逆命题(或否命题)成立,命题中的条件为必要的,也可称q是p的充分条件.
3.充要条件:如果既有p q,又有q p,记作p q,则p叫做q的充分必要条件,简称充要条件,原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立,命题中的条件是充要的.
4.反证法:当直接证明有困难时,常用反证法.
●点击双基
1.ac2>bc2是a>b成立的
A.充分而不必要条件 B.充要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:a>b ac2>bc2,如c=0.
答案:A
2.(2004年湖北,理4)已知a、b、c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析:命题甲:a·b=a·c a·(b-c)=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c,因而乙 甲,但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案:B
3.(2004年浙江,8)在△ABC中,"A>30°"是"sinA> "的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A>30° 0<sinA<1 sinA> ,sinA> 30°<A<150°
A>30°.
∴"A>30°"是"sinA> "的必要不充分条件.
答案:B
4.若条件p:a>4,q:5<a<6,则p是q的______________.
解析:a>4 5<a<6,如a=7虽然满足a>4,但显然a不满足5<a<6.
答案:必要不充分条件
5.(2005年春季上海,16)若a、b、c是常数,则"a>0且b2-4ac<0"是"对任意x∈R,有ax2+bx+c>0"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:若a>0且b2-4ac<0,则对任意x∈R,有ax2+bx+c>0,反之,则不一定成立.如a=0,b=0且c>0时,也有对任意x∈R,有ax2+bx+c>0.因此应选A.
答案:A
●典例剖析
【例1】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x<0 B.x≥0
C.x∈{-1,3,5} D.x≤- 或x≥3
剖析:∵2x2-5x-3≥0成立的充要条件是x≤- 或x≥3,∴对于A当x=- 时 2x2-5x-3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案:C
【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明:(1)必要性,即"若x=1是方程ax2+bx+c=0的根,则a+b+c=0".
∵x=1是方程的根,将x=1代入方程,得a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.
(2)充分性,即"若a+b+c=0,则x=1是方程ax2+bx+c=0的根".
把x=1代入方程的左边,得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0,∴x=1是方程的根.
综合(1)(2)知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一负根的充要条件.
证明:必要性:
(1)方程有一正根和一负根,等价于
a<0.
(2)方程有两负根,等价于
0<a≤1.
综上可知,原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0<a≤1.
充分性:由以上推理的可逆性,知当a<0时方程有异号两根;当0<a≤1时,方程有两负根.故a<0或0<a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案:a<0或0<a≤1.
【例3】 下列说法对不对?如果不对,分析错误的原因.
(1)x2=x+2是x =x2的充分条件;
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件.
解:(1)x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里" "不成立,因为x=-1时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理:
x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
(2)x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里" "不成立,因为x=0时," "左边为真,但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的(请同学补充说明具体错在哪里).
评述:此题的解答比较注重逻辑推理.事实上,也可以从真值集合方面来分析:x2=x+2的真值集合是{-1,2},x =x2的真值集合是{0,2},{-1,2} {0,2},而{0,2} {-1,2},所以(1)(2)两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.(2004年重庆,7)已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:依题意有p r,r s,s q,∴p r s q.但由于r p,∴q p.
答案:A
2.(2003年北京高考题)"cos2α=- "是"α=kπ+ ,k∈Z"的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:cos2α=- 2α=2kπ± α=kπ± .
答案:A
3.(2005年海淀区第一学期期末练习)在△ABC中,"A>B"是"cosA<cosB"的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:在△ABC中,A>B cosA<cosB(余弦函数单调性).
答案:C
4.命题A:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0),命题B:曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.
答案:充分不必要
5.(2004年北京,5)函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈(-∞,1] B.a∈[2,+∞)
C.α∈[1,2] D.a∈(-∞,1]∪[2,+∞)
解析:∵f(x)=x2-2ax-3的对称轴为x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a]或[1,2] [a,+∞),即a≥2或a≤1.
答案:D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析:先根据前n项和公式,导出使{an}为等比数列的必要条件,再证明其充分条件.
解:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)·pn-1.
由于p≠0,p≠1,∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,则 =p,即(p-1)·p=p(p+q),∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)·pn-1, =p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.(2004年湖南,9)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( UB)的充要条件是
A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5
解析:∵ UB={(x,y)|n<x+y},将P(2,3)分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案:A
8.已知关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0, ①
x2-4mx+4m2-4m-5=0. ②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解:方程①有实数根的充要条件是Δ1=(-4)2-16m≥0,即m≤1;
方程②有实数根的充要条件是Δ2=(4m)2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥- .
∴方程①②都有实数根的充要条件是- ≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证:三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明:反证法:
假设三个方程中都没有两个相异实根,
则Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0. ①
由题意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,则a、b、c中是否至少有一个大于零?请说明理由.
解:假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∵π-3>0,且无论x、y、z为何实数,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,
∴a+b+c>0.这与a+b+c≤0矛盾.因此,a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的"结论否定形式",如"至少有一个""至多有一个""都是"的否定形式是"一个也没有""至少有两个""不都是".
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型,如含有"至少有一个""至多有一个"等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步,要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】 指出下列命题中,p是q的什么条件.
(1)p:0<x<3,q:|x-1|<2;
(2)p:(x-2)(x-3)=0,q:x=2;
(3)p:c=0,q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解:(1)p:0<x<3,q:-1<x<3.
p是q的充分但不必要条件.
(2)p q,q p.p是q的必要但不充分条件.
(3)p是q的充要条件.
评述:依集合的观点看,若A B,则A是B的充分条件,B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
